La suma de 3 numeros es 6 , la suma de sus cuadrados es 8 y la suma de sus cubos es 5.
¿Cuánto es la suma de sus cuartas potencias?
Nivel difícil.
Sígueme en redes sociales
20
0
18k
20Sumando potencias. Acertijo matemático.
200
18k
20
[spoiler] O mucho me equivoco o no tiene solución en el conjunto de los números reales [/spoiler]
Yo tb lo he intentado y me he perdido a la primera de cambio
Si al cubo es menor que al cuadrado, almenos uno es negativo.
Pero si uno es negativo, para que la suma sea 6, alguno tiene que ser mayor de 2, y cuado pasas de 2, te acercas mucho a la raiz de 8, dejandote poco margen para que al elevar los tres al cuadrado dé 8.
Ha costado… pero tengo una aproximación si mi hoja de calculo de excel está bien…
[spoiler]Este ha sido mi procedimiento:
Supongo que uno de los numeros es real y que los otros dos son imaginarios con partes imaginarias de signos contrarios, me costaria demostrarlo matematicamente… pero como ha funcionado y me parecía que tenía sentido…
A partir de ahí usando una hoja excel doy valores al número real (llamemosle Z) y calculo los valores de los otros dos (llamemosles x e y) para que cumplan las dos primeras ecuaciones (la suma de los numeros y la de los cuadrados, es un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas)
Ahora, calculamos para cada uno de esos valores x, y, z el valor de la suma de los cubos… y alrededor de z= 2,6778 encontramos que la suma de los cubos vale 5
Usamos los valores de x,y,z en ese punto para hallar la suma de las cuartas potencias y… la suma es aproximadamente: -11,58
Los números son:
x=1,6611+1,5312i
y=1,6611-1,5312i
z=2,6778
[/spoiler]
A ver RaiderDK, que el cubo de un nº sea menor que su cuadrado no implica que el nº sea negativo, simplemente que es menor que 1. Aun así, como dice Manu, cierto es que el sistema no tiene solución en R, pero yo no recomendaría resolverlo para calcular la suma de las potencias cuartas…
La solucion , claro , va por el camino que plantea Manu , de hecho sus valores de y , x ,z coinciden con los que yo tengo pero calculando más decimales
z = 2.67770427706
a = 1.66114786147 parte real de x e y
b = 1.53116371279 parte imaginaria de x e y
Sin embargo , o me confundí en el calculo final ( el resultado debería ser «especial») o se confundió Manu ( bueno , una vez llegados aquí es más facil averiguarlo)
No es necesario calcular los valores para llegar a la suma , de hecho , está planteada la generalizacion
a + b + c = r
a2 + b2 + c2 = s
a3 + b3 + c3 = t
si a, b, c son raices
Tenemos x3 − rx2 + ½(r2 − s)x + (½r(3s − r2) − t)/3 = 0
a4 + b4 + c4= 4rt/3 − ½s(r2 − s) + r2(r2 − 3s)/6= (r4 − 6r2s + 3s2 + 8rt)/6.
Por otra parte , debería haber planteado este acertijo:
x + y + z = 4
x^2 + y^2 + z^2 = 4
x^3 + y^3 + z^3 = 4
¿Cuanto vale suma de las cuartas potencias ? que en este caso tiene solucion con numeros enteros.
Uf , al copiar y pegar la generalizacion se descolocaron las potencias
Bueno, ahora que Jose ha desvelado el truco, recomiendo a los interesados que busquen la fórmula de Newton para la suma de las potencias n-ésimas de las raíces de una ecuación polinómica.