Un acertijo de probabilidades.

Para contestar rapidamente , sin pensarlo mucho…

Si la probabilidad de ver un coche en una carretera en 20 minutos es 609/625, entonces cual es la probabilidad de ver un coche en 5 minutos?
Asumid la probabilidad constante durante todo el tiempo.

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Jose Acertijo Jose Acertijo

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16 comentarios en “Un acertijo de probabilidades.”

  1. Reconozco que la respuesta rápida que pensé fue “la cuarta parte”… pero en seguida me di cuenta que no tiene sentido, porque entonces en 40 minutos la probabilidad sería doble y eso es imposible!! ¿o no? Ahora tengo mis dudas, quizá no sea doble sino 1 exacto (a partir de cierto tiempo), quizá tenga sentido… por ejemplo, coches que pasan de forma regular, como un reloj, cada 20*625/609 minutos… en 20 minutos la probabilidad es 20 / (20*625/609) = 609/625

    mmmm, tengo pensarlo un poco… porque si los coches no pasan de forma regular quizá tenga que repasar cosas que estudié (Investigación Operativa, Teoría de Colas, variable aleatoria de Poisson… que modela probabilidad de ocurrir un número de eventos en un intervalo de tiempo )

  2. perdon error de calculo……………
    ahora si es 152.25/625…..
    segurisiisisismo que es….
    saludos otra ves……….

  3. La probabilidad de no verlo en 20 min es P=1-P(verlo)=1-609/625=16/625
    Esta probabilidad es P=P'(no verlo del min 0 al min 5)*P'(no verlo del min 5 al min10)*P'(no verlo del min 10 al15min)*P'(no verlo del min 15 al min 20)
    Si suponemos esta probabilidad constante, como nos dice el enunciado, entonces
    P=16/625= P’^4(elevado a la cuarta) luego P’=raizcuarta(16/625)=2/5

    Luego la probabilidad de VERLO en 5 min es 1-P’= 3/5 = 0.6

    PD: Muy bueno Jose! Me vino la inspiracion debido a la particularidad del 609/625 y al leer lo de “contestar rapidamente”. Descubri muy pronto que era 1-16/625 y de ahi salio el resto al momento…

  4. JSF, me gusta tu respuesta, y creo que es “la que se esperaba” (tal como está expuesto, y teniendo en cuenta un poco el contexto)

    Aunque creo que hay muchas respuestas válidas.

  5. Me parece una variable de Poisson, como dice Acid. En ese caso, la probabilidad sería la misma. No varía.
    Lo que pasa es que eso de “probabilidad constante” no queda muy claro. Si la “probabilidad” es constante, la pregunta está autocontestada: la misma 🙂

    Si definimos la variable aleatoria X:= “tiempo que pasa hasta que aparece un coche”, y ésta tiene una “distribución uniforme”, entonces la probabilidad es proporcional al tiempo que pasa. Con lo cual la P(verlo en 5 minutos) sí que es 1/4 parte.

    Y, Acid dice que la probabilidad de verlo en 40 minutos sería el doble. Para que eso no pase, la variable ha de estar definida en un intervalo máximo. Haciendo cálculos, me sale que como muy tarde veremos el coche cuando hayan pasado (625/30.45) minutos.

    ¿Hay manera de saber el resultado correcto?

  6. Felicidades JSF !

    Como dijo Acid , la solucion “esperada” ( incluido el planteamiento , claro) es tal como dice JSF. Cierto que no estuve afortunado con la frase “probabilidad constante” , aunque creo que sí se entendia que se referia a una distribucion uniforme y regular durante el tiempo considerado.

    Ya he contado alguna vez en este blog que no soy matematico ni tengo conocimientos de matematicas “superiores” , y de hecho todos los acertijos-problemas matematicos de este blog se resuelven con logica , intuicion e imaginacion ( soluciones de “feliz idea” ) antes que con herramientas matematicas complicadas , aunque claro que de esta forma es igualmente valido.

    Tal como yo lo planteé , coincido exactamente con JSF :

    La probabilidad de no ver un coche en 20 minutos = (La probabilidad de no ver un coche en 5 minutos)^ 4 = (1 – (609/625))

    La probabilidad de no ver un coche en 5 minutos = (1 – (609/625))^ (1/4) = 2/5

    Por lo tanto la probabilidad de ver un coche en 5 minutos= 1 – (2/5) = 3/5

    Alberto , respecto lo que dices del tiempo y la 4ª parte , creo que es un error de intuicion y como a veces las matematicas contradicen el sentido comun o la intuicion; la probabilidad tenderá a 1 con el paso del tiempo pero cuanto mas tiempo pase , el incremento de probabilidad será cada vez mas pequeño. De hecho solo podriamos asegurar la P=1 para tiempo infinito.

    Si “pasamos” la variable continua “tiempo” a un problema con variables discretas , viene a darse un caso parecido , y planteo lo siguiente:

    Supongamos la probabilidad del 50% respecto al sexo en un nacimiento.

    Está claro que la probabilidad de que el primer hijo sea varon es de un 50% , sin embargo , la probabilidad de tener 1 hijo varon (al menos) tras 3 nacimientos , no es del 150% , sino de 1 – la probabilidad de que nazcan 3 hembras.

    Quizá aqui se ve mas claro la variable “distorsionadora” , y es que, claro , el caso de 2 chicos y una chica , cuenta como “un caso” aunque haya 2 varones.

    De todas formas , si se le quieren buscar las pulgas a la interpretacion del enunciado…se encuentran 😉

  7. Hola, Jose.

    Jaja. Ya sé que lo de la 1/4 parte es un error de intuición, pero con los datos que has dado da la CASUALIDAD de que coinciden los resultados :).

    Tienes razón en que la probabilidad tiende a 1 cuando el tiempo tiende a Infinito. Pero en una variable uniforme continua, el tiempo HA de estar acotado.

    Échale un vistazo a

    http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_(continua)

    En nuestro caso, a=0, y b=? (no sabemos cuánto tiempo como mucho tenemos que esperar para que aparezca el coche).
    Pero sabemos que la integral de la función de densidad = 1/(b-a) ha de ser 1. Como sabemos que en t=20, la P=609/625, podemos sacar b. Al obtener b=(625·20)/609, obtenemos el valor para el cual P=1. A partir de ahí, calculas el valor de la probabilidad para t=5.

    b=20,52, que es casi igual a 20. Por eso la probabilidad da 1/4. Es casualidad, pero las ecuaciones CASI lo mismo que lo que dice la intuición errónea.

  8. Dios mio, cómo está el nivel de cálculo de probabilidades! Eso es por culpa de los profesores, que lo explican fatal, porque ésto es superintuitivo.

    A ver, vayamos por partes:
    Antes de nada decir que cuando se habla de “cruzarse con un coche” significa “cruzarse con al menos un coche”. (en caso contrarío dirían “cruzarse con un solo coche”)
    Ahora voy a explicar la terminología que voy a utilizar, para que quede todo claro:
    A=”conducir durante 20 minutos y cruzarse con al menos un coche”
    B1=”conducir durante los primeros cinco minutos y cruzarse con al menos un coche”
    B2=”conducir durante los segundos cinco minutos y cruzarse con al menos un coche”
    B3=”conducir durante los terceros cinco minutos y cruzarse con al menos un coche”
    B4=”conducir durante los cuartos cinco minutos y cruzarse con al menos un coche”
    P(*) representaría la probabilidad del suceso *

    Vosotros estais suponiendo que P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)
    Pero eso no es cierto.
    La probabilidad consiste en contar casos favorables contra casos posibles, pero eso sí, hay que contarlos bien, no puedes contar varias veces el mismo caso, que es lo que estais haciendo vosotros,
    Por ejemplo:, el caso en el que viese un coche en el primer tramo de cinco minutos y otro en el segundo tramo lo estais contando dos veces, una vez como B1 y otra vez como B2… pero es un solo caso! No lo podeis contar dos veces. Y el caso en el que viese un coche en cada uno de los tramos de cinco minutos lo estais contando cuatro veces! Una como B1, otra como B2, otra como B3 y otra como B4.

    Conviene recordar que para dos sucesos independientes R y S, la probabilidad de que se dé al menos uno de los dos es P(R)+P(S)-P(RyS)… Y eso es precisamente lo que os falla, restar la probabilidad de que se den varios de los casos a la vez. Y por qué hay que restar esa probabilidad?? pues porque tanto R como S contienen a (RyS), por lo tanto, al sumar los casos en los que se dá R y los casos en los que se dá S estás sumando dos veces todos los casos de RyS, por eso después hay que restarlos, para que queden sumados una sola vez!

    Un ejemplo mucho más claro:
    Supongamos que estamos tirando dos monedas al aire.
    La probabilidad de sacar cara en la primera moneda es de un medio, lo mismo que para la segunda.
    La probabilidad de sacar cara en las dos monedas es de un cuarto (cómo son sucesos independientes sólo hay que multiplicar la probabilidad de cada uno de los sucesos).
    Pues bien, la probabilidad de sacar cara en al menos una de las dos monedas es:
    P(sacar cara en la primera moneda)+P(sacar cara en la segunda moneda)-P(sacar cara en las dos)=(1/2)+(1/2)-(1/4)=(3/4)
    Esto es lo que nos dice la fórmula, pero razonémoslo:
    Qué casos posibles hay?
    Cuatro: CaraCara, CaraCruz, CruzCara y CruzCruz
    Cuáles cumplen con la condición “sacar cara en al menos una de los dos monedas”
    Tres: CaraCara, CaraCruz y CruzCara.
    Es decir, 3 de 4, por lo tanto la probabilidad es de tres cuartos, como ya habíamos calculado.
    Lo que hacemos en la fórmula es sumar todos los casos en los que se saca cara en la primera moneda (CaraCara y CaraCruz) con todos los casos en los que se saca cara en la segunda moneda (CaraCara y CruzCara) y restarle todos los casos en los que saca cara en las dos monedas (CaraCara).
    Es decir: CaraCara + CaraCruz + CaraCara + CruzCara – CaraCara,
    Ahora es fácil darse cuenta de por qué aparece esa resta en la fórmula… pues para corregir el hecho de que el caso CaraCara lo habíamos sumado dos veces!!

    Vamos, que las probabilidades no se suman así a lo loco, excepto en un caso… adivinais cual?
    Por supuesto, cuando dos sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, P(AyB)=0, entonces sí que se puede sumar a lo loco, pero por una razón muy simple, porque la parte que hay que restar (P(AyB)) es cero!!!
    Por ejemplo, Si tiramos un solo dado la probabilidad de sacar un uno o un dos es la suma de la probabilidad de sacar un uno más la probabilidad de sacar un dos.. pero no es cuestión de magia, es simplemente porque no existe ningún caso en que saques un uno y saques un dos, por lo tanto no hay ningún caso que estés contando dos veces.

    No sé si ha quedado muy bien explicado, en probabilidad lo más importante es razonar, intentar entender lo que estamos calculando y si lo entendemos es muy simple, pues solo se trata de contar casos favorables contra casos posibles. Pero no se puede sumar y restar a lo loco porque los sucesos no son números.

    JSF: Lo has hecho perfecto, lo cual es para alegrarse, pero has sido el único que lo ha entendido de 14 que lo han intentado, lo cual es para deprimirse.

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