Un conocido problema.

Estos tres círculos arriba tienen puntos azules en su circunferencia que están conectados por líneas rectas.

Estas líneas dividen los círculos en regiones más pequeñas.

El primer círculo, con dos puntos azules, se separa en dos regiones.

El segundo círculo, con tres puntos azules, se separa en cuatro regiones.

El tercer círculo, con cuatro puntos azules, está separado en 8 regiones.

Un cuarto círculo con 5 puntos azules se separa en 16 regiones.

¿Cuántas regiones separarías con 6 puntos?

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Jose

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enlero
enlero
26 días hace

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enlero
enlero
26 días hace

ya me perecia demasiado facil

Mmonchi
Mmonchi
26 días hace

enlero, conozco el problema, la solución es un polinomio de cuarto grado.

enlero
enlero
26 días hace

lo bueno de este foro (entre otras cosas) es que te hace mantener la tension y cuestionarlo todo, en este caso la correcta aplicacion del principio de induccion

Spider
Spider
25 días hace

Mmonchi, ¿ese polinomio de cuarto grado resuelve el problema para n puntos? Si es así me gustaría saber cuál es. Gracias.

Mmonchi
Mmonchi
25 días hace

Aquí tienes un resumen de la solución, viene como combinatoria y como polinomio:

https://mathworld.wolfram.com/CircleDivisionbyChords.html

Es el ejemplo clásico de por qué no hay que fiarse de la inducción sin hacer una demostración.

Enlero
Enlero
24 días hace

Si el exagono es regular,las regiones son 30,no 31

Mmonchi
Mmonchi
24 días hace

La solución es C(n,4) + C(n,2) + 1. C(n,p) son las combinaciones sin repetición de p elementos tomados de n. A partir de ahí se llega al polinomio de cuarto grado.
 
Pero hay otra forma más interesante de verlo, que explica por qué empieza siendo igual a las potencias de 2.
 
Como C(a,b) = C(a-1,b-1) + C(a-1,b) y C(n,0) = 1 podemos poner la fórmula de la solución así:
 
C(n-1,4) + C(n-1,3) + C(n-1,2) + C(n-1,1) + C(n-1,0).
 
Eso corresponde a los cinco primeros términos de cada fila del triángulo de Pascal:
 
 
 
Y como el triángulo de Pascal es el desarrollo del binomio de Newton, la suma de cada fila es una potencia de 2. Por eso los cinco primeros términos coinciden pero a partir del sexto se van haciendo menores que la potencia correspondiente.

Binomio.png
Spider
Spider
24 días hace

Interesante, gracias Mmonchi.
 

Last edited 24 días hace by Spider
enlero
enlero
24 días hace

yo creo que este problema mas que dar una solucion ( para el caso de 6 puntos tiene dos) nos enseña la necesidad de aplicar correctamente los conceptos , principios y teoremas para no incurrir en resultados erroneos. Yo reformularia el problema de la siguiente forma.»Probar que para seis puntos el numero de regiones no es 32 como nos puede sugerir la intuicion».Pero claro el problema perderia su gracia