El pastel

Imaginad que tenéis un pastel y le dais a un amigo un cuchillo para que lo corte. Antes de que lo haga le vendáis los ojos para que haga un corte de forma totalmente aleatoria. El corte va a atravesar el pastel por completo. Ahora os pregunto,
¿Cuál es la probabilidad de que el arco de la circunferencia que ha descrito el corte mida más que el lado del triángulo equilátero inscrito en dicho pastel?
Es un problema totalmente geométrico, lo del pastel es simplemente para hacerlo más “bonito” o sencillamente para “despistar”.
Se trata de una paradoja matemática que algunos ya conoceréis, ¡comentad vuestras respuestas!

Sobre el autor

Miguel

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4 comentarios sobre “El pastel”

  1. La distancia desde el centro a cualquiera de los lados del triángulo equilátero es R sin(30º) = 1/2 R.
    Si imaginamos que los posibles cortes son paralelos a uno de los lados del triángulo, vemos que para que el corte sea más largo que ese lado debe estar a una distancia del centro como máximo de 1/2 R (1/2 R hacia la izquierda y 1/2 R hacia la derecha) Las dos zonas en las que el corte sería más corto que el lado del triángulo serán también 1/2 R hacia la izquierda y hacia la derecha.
    Así pues la probabilidad será 1/2
    No sé si me explico 🙂

  2. Voy a darle el punto “paradojico”

    Yo digo que es 1/3.

    supongamos que elegimos dos puntos de la circunferencia. A y B.
    Dibujamos el triangulo equilatero inscrito de modo que uno de los vertices coincida con A. Llamaremos a los otros dos puntos A’ y A”.

    Tenemos 3 arcos de la circunferencia iguales delimitadas por estos 3 puntos, el arco que va desde A a A’, el que va de A’ a A” y el que va desde A” a A.

    Si B está en el arco que va desde A’ a A” será mas largo, si está en los otros 2 será mas corto. Así pues la probabilidad es de 1/3.

    Tambien podría decir que es 1/4, pero es mas complicado de explicar 😉

  3. Muy bien, en realidad ambas respuestas son correctas. El “truco” está en la ambigüedad de la frase “cortar aleatoriamente” existen varias distribuciones de probabilidad (no hemos dicho cuál) y por lo tanto distintas soluciones.
    Se conoce como “La paradoja de Bertrand”, si lo ponéis en google salen cosas interesantes.

    Saludos.

  4. Pues es cierto. Al principio he pensado que esa forma de marcar los puntos por donde vas a cortar no era equiprobable o algo así. Pero pensando en los ángulos que se pueden formar desde el punto A efectivamente el ángulo central favorable es 60º y los dos de los lados también. Así pues la probabilidad es un tercio.
    Muy curioso.
    Supongo que habría que estudiar cuál de las dos formas de cortar es más acorde con lo de “cortar aleatoriamente con los ojos cerrados”

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