Castigué a Noemí y Sara esa tarde y les di la opción de poder librarse del castigo si resolvían un reto difícil.
Llevé a ambas, una tras otra a mi despacho donde hay cuatro cajas vacías idénticas, numeradas 1, 2, 3 y 4.
El procedimiento es el siguiente:
1) Noemí será conducida al despacho. Luego, sacaré un trozo de papel de mi bolsillo y lo colocaré al azar en una de las cuatro cajas. Noemí verá en qué caja está el papel.
Cerraré las cajas. Lanzaré una moneda y la colocaré sobre la caja 1. Lanzaré otra moneda y la colocaré en la caja 2, y así sucesivamente para las cajas 3 y 4.
Cada moneda tiene una probabilidad del 50/50 de salir cara o cruz. Noemí podrá ver las caras de todas las monedas.
2) Noemí debe voltear una sola moneda. (Ella puede elegir cualquiera de las cuatro monedas, y cuando lo hace, una cara se convierte en cruz, o viceversa).
Luego la sacaré del despacho y la llevaré sola a su cuarto.
3) Sara ahora es llevada al despacho. No podrá ver el interior de las cajas ya que están cerradas.
Pero ella podrá ver las caras de las monedas. Le pediré que abra una caja. Si la caja tiene el papel dentro, ambas son liberadas y podrán salir esa tarde.
Si no tiene el papel, cada una irá se quedará castigada en su cuarto.
¿Qué estrategia garantiza que obtengan su libertad?
Les permito discutir su estrategia antes de que llevar a Noemí al despacho con las cajas y establezcan un plan.
Pero una vez que noemí entra en el despacho no tiene comunicación con Sara, aparte del «mensaje» al voltear la moneda.
Nota: Noemí tiene que dar la vuelta a una moneda (y solo una) obligatoriamente.
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Vamos a diferenciar dos casos, y haremos una estrategia para cada uno:
A) El numero inicial de caras es par (y por lo tanto el de cruces también)
B) El numero inicial de caras es impar (y por lo tanto el de cruces también)
Caso A:
Al dar la vuelta a una moneda, nos quedará o bien una sola cara o bien una sola cruz. Siempre se puede hacer de tal forma que la caja con el papel sea la que tenga la moneda «única» (la única cara o la unica cruz).
Noemí, al ver que hay una sola cara (o una sola cruz) sabrá que está ante el caso A, escogerá la caja cuya moneda es única, y acertará siempre.
Caso B:
Al dar la vuelta a una moneda, nos quedará una de estas cuatro configuraciones:
1) AAAA (CCCC, XXXX)
2) AABB (CCXX, XXCC)
3) ABAB (CXCX, XCXC)
4) ABBA (CXXC, XCCX)
Pudiendo conseguir siempre cualquiera de las cuatro configuraciones.
Si el papel está en la caja 1, Sara voltea la moneda necesaria para conseguir la configuración 1.
Si el papel está en la caja 2, Sara voltea la moneda necesaria para conseguir la configuración 2.
…
Noemí, al ver un número par de caras, sabrá que estamos en el caso B, y al ver la configuración de caras y cruces (AAAA, AABB, ABAB ó ABBA) ya sabrá dónde está la moneda, y acertará siempre.
Caso por caso:
(A la izquierda la configuración inicial, a la derecha las cuatro configuraciones que debe dejar Sara para señalar que el premio está en la caja 1, 2, 3 ó 4 respectivamente)
A)
CCCC: XCCC CXCC CCXC CCCX
CCXX: CXXX XCXX CCXC CCCX
CXCX: CXXX CXCC XXCX CCCX
CXXC: CXXX CXCC CCXC XXXC
XCCX: XCCC XCXX XXCX CCCX
XCXC: XCCC XCXX CCXC XXXC
XXCC: XCCC CXCC XXCX XXXC
XXXX: CXXX XCXX XXCX XXXC
B)
XCCC: CCCC XXCC XCXC XCCX
CXCC: CCCC XXCC CXCX CXXC
CCXC: CCCC CCXX XCXC CXXC
CCCX: CCCC CCXX CXCX XCCX
CXXX: XXXX CCXX CXCX CXXC
XCXX: XXXX CCXX XCXC XCCX
XXCX: XXXX XXCC CXCX XCCX
XXXC: XXXX XXCC XCXC CXXC
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Otra forma de resolverlo (utilizando el sistema binario):
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Llamamos A a la primera caja, B a la segunda, C a la tercera y D a la cuarta (para no liarnos con los números)
C=cara=0
X=cruz=1
Consideramos la combinación de caras y cruces como un numero en binario:
CCCC=0000=0
CCCX=0001=1
CCXC=0010=2
CCXX=0011=3
CXCC=0100=4
CXCX=0101=5
CXXC=0110=6
CXXX=0111=7
XCCC=1000=8
XCCX=1001=9
XCXC=1010=10
XCXX=1011=11
XXCC=1100=12
XXCX=1101=13
XXXC=1110=14
XXXX=1111=15
Sara y Noemí acuerdan el siguiente código:
Caja A: 0 7 8 15
Caja B: 1 6 9 14
Caja C: 2 5 10 13
Caja D: 3 4 11 12
(Donde a cada caja le corresponden cuatro números y a cada número le corresponde una caja)
Sara sólo tiene que conseguir transformar el número inicial (la combinación de caras y cruces inicial) en uno de los cuatro números que corresponden a la caja que quiere señalar (siempre podrá hacerlo con uno y sólo uno de los números)
Y Noemí sólo tiene que reconocer a qué caja pertenece el número que le ha dejado Sara
Un ejemplo:
La combinación inicial es XCCX (9) y el papel está en la caja C. Noemí necesita conseguir uno de los cuatro números correspondientes a la caja C (2 5 10 13). La única posibilidad es girar la segunda moneda y así XXCX=13
Sara ve un 13 y ya sabe que el papel está en la caja C
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Tecnicamente hablando las respuestas de Encias Joe, son una preciosidad, pero si vamos a algo simple y vulgar. ¿No valdría elegir una caja por la que tenga la moneda mas cercana al borde? Perdón por la majadería 😉
Resumiendo
Si sara ve 4 caras o 4 cruces elige la primera caja
Si ve 3 caras y una cruz elige la caja de la cruz
Si ve 2 caras y 2 cruces elige entre las cajas 2,3,4 aquella que tenga una única cara o una única cruz
Excelente, Encías Joe, yo pensaba que con 4 cajas no se podría conseguir.
El truco entonces era reducir el problema a las tres primeras cajas y solo en el caso de que las monedas no indicasen una de las tres, por defecto estaría en la cuarta, es decir, tener en cuenta solo las posibilidades combinatorias de las cajas 1 , 2 y 3 asignando combinaciones a la caja correcta y alguna combinación que no asigna caja alguna (por lo que estaría en la 4 en ese caso).
Tu solución es mucho más completa.