Baile de cuadros

Pisando airosa, una capa blanca flameando a sus espaldas, la directora de una famosa compañía de danza entró en mi despacho. “Sabrá usted que ciertos escritores recurren a ‘negros’. Yo necesito ahora un ayudante de coreografía.” Le indiqué que tomara asiento y me expusiera los detalles de su problema.

El cuerpo de baile consta de 12 hombres y 20 mujeres (que en las ilustraciones aparecen en azul y en rojo, respectivamente). En un momento clave de la actuación, han de pasar desde una figura en la que los hombres rodean a las mujeres hasta otra en la que las mujeres rodean a los hombres. La transición se desarrolla en tres fases.

Durante cada etapa, cada bailarín puede, o bien permanecer en su lugar, o bien dar un paso en una de cuatro direcciones: hacia la izquierda, hacia la derecha, al frente o hacia atrás. Hay, sin embargo, dos condiciones importantes: dos bailarines no pueden permutar sus posiciones en un paso; tampoco pueden ocupar el mismo espacio después de dar el paso. Los bailarines, por encima de todo, han de evitar las colisiones.

Vemos al pie las posiciones inicial y final de los bailarines. ¿Te será posible detallar los movimientos de cada paso, para llegar a la posición final sin infringir las condiciones? Puedes ser práctico y representarlos en papel cuadriculado.

La moneda délfica

La exacta predicción del futuro es de la máxima utilidad en los juegos de apuestas… y se nos viene a la mente la bolsa de valores. Desafortunadamente, resulta difícil dar con oráculos perfectos (y de nuevo se nos ocurre la bolsa de valores). ¿Cómo sacar provecho de los falaces oráculos que es probable que encontremos?

Tenemos, para empezar, 100 euros, y hemos de hacer 10 apuestas. Cada una quedará decidida mediante el lanzamiento de una moneda. El oráculo nos predecirá de qué lado va a caer, pero es posible que mienta (aunque no más de una vez) y puede que lo haga después de saber cuánto hemos apostado en ese envite. Tenemos un contrincante dispuesto a pagar uno contra uno en cualquiera de nuestras apuestas, por lo que si arriesgamos x euros, nos devolverá 2x euros si el oráculo dijo la verdad en esa ocasión, mientras que si el oráculo miente, se embolsará nuestra apuesta. ¿Cómo terminar con el máximo importe final posible, con independencia del momento en que el oráculo decida mentir?

He aquí un segundo problema: supongamos necesario decidir por anticipado el importe de todas las apuestas, sin saber, claro está, cuándo va a mentir el oráculo. ¿Cuáles deberían ser nuestras apuestas en tal caso, y cuál sería el importe final que podríamos asegurarnos, con independencia del momento en que el oráculo opte por mentir (si es que lo hace)? Una cosa más: perderemos todo si proyectamos apostar en un determinado momento, pero resulta que nos falta dinero en ese instante.

Como ejercicio preliminar para el primer problema: supongamos que sean tres los lanzamientos y las mentiras, una a lo sumo. Tenemos 100 euros. ¿Cuánto deberemos apostar la primera vez? Dado el resultado, ¿cuánto, la segunda y la tercera vez? Podemos ver en la figura algunas posibles variantes.

Mentirosos alternantes

En una sala hay cinco personas. Una de ellas es absolutamente veraz, y dirá siempre la verdad en todo cuanto se le pregunte. Las otras cuatro son mentirosas alternantes, es decir, cada una de ellas va por turno diciendo la verdad, mintiendo, diciendo la verdad… Por mala suerte, no sabemos si los mentirosos alternantes van a empezar diciendo la verdad o mintiendo. Peor todavía, un mentiroso alternante puede no decidir si en la primera pregunta que se le haga va a decir la verdad o a mentir hasta después de haberla oído. Ahora bien, tras la primera pregunta, tiene que ir alternando verdades y mentiras. Por otra parte, se sabe que todos los presentes conocen quién es absolutamente veraz. Ninguna de las personas parece de fiar. Tenemos, sin embargo, que determinar quién es absolutamente veraz. Sólo podemos hacer dos preguntas, pero no es obligado que la respuesta haya de ser un mero “sí” o “no”. Hay cinco personas entre las que elegir. Cada pregunta ha estar dirigida a una sola persona (aunque es lícito hacerle las dos preguntas a una misma) y la respuesta habrá de darla solamente la persona interrogada. ¿Te parece que podremos resolverlo? Para “subir nota”: ¿Cuántas preguntas serían necesarias si fueran siete las personas de la sala?

Para un posible enfoque del problema, véase el problema de “precalentamiento” para el caso de tres personas, con respuestas “sí” o “no”.

Algo escamante

Parecía mentira que en un paraje tan encantador pudiera ocurrir un delito tan absurdo y repulsivo. Siete casitas rústicas, cuatro de ellas al borde de una laguna (de A a D), dos frente al mar (F y G) y una en medio de las demás (E), estaban conectadas por senderos, como se indica en el mapa. Un pescador vio a un individuo de mala catadura, portador de un gran cesto, acercarse a la urbanización desde la laguna y deslizarse en el interior de una de las casitas situadas al borde de esa masa de agua. El hombre fue después recorriendo los senderos que iban de una casita a otra, dejando por el camino pescado podrido.

Al examinar una serie de pisadas en el barro, la policía pudo establecer que el gamberro había recorrido cada senda exactamente una vez. Los detectives no encontraron huellas que se alejasen de la urbanización, y concluyeron que el escamante personaje seguía todavía oculto en una de las casitas. Desafortunadamente, las huellas de los senderos estaban tan borrosas, que los policías no estaban seguros de la dirección en que apuntaban. Y lo que es peor, el pescador no conseguía recordar en cuál de las cuatro casitas que orillaban la laguna había entrado el sujeto en primer lugar. Por todo ello, la policía no era capaz de reconstruir la ruta del malvado: todo cuanto sabían era que en ningún caso había pasado dos veces por el mismo lugar.
¿Puedes averiguar en qué casita se encuentra escondido el delincuente?