Sin caída

Como Arquímedes hizo notar, un objeto situado en uno de los brazos de una palanca ejercerá una “fuerza” de torsión tendente a hacerla girar en torno al punto de apoyo. En física, esta torsión se llama “momento” y es igual al producto del peso del objeto por su distancia al fulcro o punto de apoyo. (También interviene el ángulo de la palanca, pero aquí no será necesario tenerlo en cuenta.) Si el objeto se encuentra a la izquierda del fulcro, el momento es antihorario o “levógiro”; si a la derecha, horario o “dextrógiro”. Para calcular el momento total respecto a un apoyo, basta sumar los momentos de todos los objetos individuales que se hayan colocado en la palanca.


El problema consiste en lograr que la palanca se mantenga en equilibrio mientras se ajustan los objetos colocados sobre ella. A modo de calentamiento, probemos suerte con un problema preliminar: Supongamos un larguero recto, perfectamente rígido, de 20 metros de longitud y 3 kilos de peso, uniforme en toda su longitud. El centro de masa del larguero está en su punto medio; tal posición será llamada 0 y tomada como origen. De esta forma, las posiciones de un objeto sobre el larguero podrán ir desde –10 (extremo izquierdo) hasta +10 (extremo derecho). El larguero está sostenido en dos puntos por dos apoyos iguales, situados en las posiciones –1,5 y +1,5. Estos soportes tienen una altura de 2 metros y se alzan sobre una superficie plana. Sobre el larguero se encuentran 6 paquetes, en las posiciones –8, –4, –3, 2, 5 y 8, cuyos pesos respectivos son 4, 10, 10, 4, 7 y 8 kilos, respectivamente (ilustración A).

La tarea consiste en ir retirando los paquetes de uno en uno, de modo que el larguero descanse siempre sobre los dos apoyos, sin caer hacia uno u otro lado. El larguero se inclinará si el momento total respecto al fulcro izquierdo (resultante de los pesos de los paquetes y del propio larguero) tuviera sentido contrario antihorario, o levógiro, o si el momento total con respecto al apoyo derecho tuviera el sentido horario, o dextrógiro.

Y ahora un problema un poco más difícil. Supongamos que haya 15 paquetes en ese mismo larguero, con las posiciones y pesos indicadas en la ilustración B. Hay paquetes que se encuentran a la misma distancia del centro del tablero, uno al lado del otro. Hállese un orden en el que ir retirando los paquetes sin que el larguero se desequilibre en ningún momento.

Verificación de circuitos

Acabamos de recibir una gran colección de circuitos digitales de un fabricante no demasiado de fiar. Nos informa de qué conexiones hay, y entre qué elementos de los circuitos. Nos dice, además, qué función deben desempeñar tales elementos. Hemos de averiguar si los elementos son los que se supone que son. Deseamos que el número de comprobaciones necesario para saber si el fabricante ha instalado realmente los elementos correctos resulte lo menor posible. Estos circuitos utilizan sólo elementos de dos tipos, puertas lógicas O y puertas lógicas Y. Cada una de ellas queda caracterizada por una tabla de verdad, que pone en correspondencia los estados de sus entradas con el estado de la salida (véanse las tablas al pie). La salida de una puerta Y solamente es 1 cuando las dos entradas son 1, mientras que la salida de una puerta O es 1 cuando al menos una de sus entradas es 1.

Como ejercicio preliminar, supongamos que el circuito se encuentra en la configuración de tres elementos que vemos abajo a la izquierda. Se sospecha que la puerta O (elemento 3) puede ser en realidad una puerta Y, y que una o ambas puertas Y (elementos 1 y 2) pueden ser en realidad puertas O. Cabe probar el circuito introduciendo un valor binario (bien un 1, bien un 0) en cada una de las entradas (A, B, C y D) y observando qué valores se obtienen en las salidas (E y F). Basta una comprobación para determinar si las puertas lógicas de este circuito están correctamente rotuladas. Ahora bien, qué entradas se han de utilizar para la prueba, y qué valores deben esperarse?.
Fijémonos ahora en el circuito de cuatro elementos que vemos abajo a la derecha. ¿Cuál es el número mínimo de ensayos necesarios para verificar el circuito, y qué entradas habrán de aplicarse en cada caso? Como segundo problema, responde a la misma cuestión para un circuito con idéntica configuración, pero que contenga cuatro puertas Y. Por último, volvamos a la primera ilustración y consideremos todas las posibles combinaciones de puertas Y y O que se pudieran disponer con esta configuración de tres elementos. ¿Qué combinaciones pueden ser comprobadas utilizando sólo un ensayo?

Buenos y malos

Raymond ‘Gandalf’ Smullyan, matemático de la Universidad municipal de Nueva York, es el responsable de estos cuatro atractivos acertijos lógicos con buenos y malos, y tal vez algunas personas más. En todos ellos, el bueno siempre dice la verdad y el malo siempre miente.

Demuestra que uno dice la verdad pero no es bueno.

Demuestra que, o bien uno de ellos dice la verdad pero no es bueno, o bien uno miente pero no es malo.

En los problemas arriba mencionados habrá que considerar la posibilidad de un tercero que no sea ni bueno ni malo. En los dos problemas siguientes, cada uno de los tres personajes implicados es, o bueno, o malo.

Distancias diferentes

Es fácil colocar 3 fichas en las casillas de un damero 3 x 3 de modo que no haya nunca 2 pares de fichas a la misma distancia. Se supone que cada ficha señala el centro exacto de una casilla y que las distancias se miden sobre una línea recta que une los centros. Salvo giros y simetrías, existen tres soluciones, como se muestra en la imagen.

La solución para un cuadrado de orden 6 resulta difícil porque por primera vez entra en escena el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 (la terna pitagórica mínima). El número de disposiciones queda muy reducido debido a que son posibles distancias de 5 unidades tanto en filas y columnas como en diagonal. Sólo hay dos soluciones, ¿puedes encontrar alguna?. Como pistas daré la colocación de tres fichas en cada una de las soluciones.

Para un cuadrado de orden 7 sólo existe una solución dificilísima de encontrar a menos que se programe por ordenador. Ahora bien, por probar a mano, quién sabe si darás con ella?. Está demostrado que el cuadrado de orden 7 es el menor cuadrado con solución para cuadrados de orden n con n fichas.

Los recorridos del rey perdido

Se trata del recorrido de un rey sobre un pequeño tablero de ajedrez y sujeto a las siguientes condiciones:

Primero, el rey debe pasar por cada celdilla una y solo una vez.

Segundo, el rey debe cambiar de dirección después de cada movimiento, esto es, que no puede moverse dos veces consecutivas en la misma dirección.

Tercero, el número de puntos por donde la trayectoria del rey se corta a sí misma debe reducirse al mínimo.

La ilustración a muestra el único recorrido posible en un tablero de 3 x 3 desde la casilla A a la B. Tiene un cruce y es único, salvo, evidentemente, simetría respecto a la diagonal principal. Un recorrido cerrado es imposible sobre este tablero.

El ascensor

En un edificio de cinco plantas con un único ascensor con capacidad para dos personas, hay tres personas en cada planta, y todas menos una desean ir a otra planta. El ascensor parte de la planta baja (la 1) y va cargando y descargando personas hasta que todas están donde querían estar, y entonces vuelve a la planta baja. Tomando como unidad la distancia entre dos plantas contiguas, se trata de buscar el recorrido mínimo que permite llevar a cada persona a su destino (lo que equivale a minimizar la distancia recorrida, o el tiempo empleado si la velocidad del ascensor es constante). En el siguiente esquema se indica a qué planta desea ir cada una de las tres personas de cada planta (menos una de la planta 2 que no quiere cambiar):

5: 1-2-3

4: 1-3-5

3: 4-5-5

2: 1-2-4

1: 2-3-4