Dígitos repetidos en la sucesión de potencias de 2

Considerar la sucesión de la forma 2n para n=0,1,2,3,…, es decir: 1, 2, 4, 8 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, etc. Si miramos al primer dígito de la izquierda de los números que aparecen en esa sucesión veremos que el 7 aparece por primera vez para n=46 (246 =70368744177664), mientras que para entonces el 8 ya ha aparecido varias veces.
¿Significa eso que el 8 aparecerá a la larga con más frecuencia que el 7 como dígito de la izquierda de 2n?
La sorprendente respuesta es que no, de hecho a la larga el 7 aparece con una frecuencia algo superior a la del 8. El problema que propongo consiste en averiguar con qué frecuencia relativa aparece exactamente cada uno de los dígitos 1 a 9 a la izquierda del número 2n.

Como pista diré que si t es un número irracional, entonces la sucesión t, 2 t, 3 t,…, n t,… está uniformemente distribuida módulo 1, es decir, las partes decimales de esos números caen en cada subintervalo de [0,1) con una frecuencia relativa proporcional a la longitud del subintervalo. También se sabe que el logaritmo decimal de 2 es irracional, y por tanto… ya no digo más.

Los resultados se pueden extender fácilmente a sucesiones cualesquiera de la forma an (siempre que log a sea irracional), y a bases distintas de la decimal. Por último estúdiese qué pasa con bloques de dígitos, por ejemplo, ¿con qué frecuencia relativa aparece el bloque 10298 a la izquierda del número 2n? Dicho de otra manera, si entre los números 1, 2, 4, 8,…, 2N, hay F(N) que empiezan por 10298…, ¿a qué valor tiende F(N)/N cuando N tiende a infinito?

*Nivel de dificultad: MMONCHI.